**1. Tập Hợp Số Hữu Tỉ**

**1.1. Mở Đầu**

Trong toán học, tập hợp số hữu tỉ được sử dụng để biểu diễn các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên. Tập hợp số hữu tỉ thường được ký hiệu là "Q", xuất phát từ từ tiếng Anh "quotient", có nghĩa là thương. Việc sử dụng ký hiệu này được giới thiệu lần đầu tiên bởi nhà toán học người Đức Giuseppe Peano vào cuối thế kỷ 19.

**1.2. Định Nghĩa**

Tập hợp số hữu tỉ (Q) được định nghĩa là tập hợp của tất cả các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó:

* a là một số nguyên (a ≠ 0)

* b là một số nguyên dương (b ≠ 0)

Hai số hữu tỉ a/b và c/d được coi là bằng nhau nếu và chỉ nếu a.d = b.c.

**1.3. Biểu Diễn Thập Phân**

Mỗi số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn.

**Số thập phân hữu hạn:** Là số thập phân kết thúc ở một số hữu hạn các chữ số. Ví dụ: 0,5, 1,25, -3,14.

**Số thập phân vô hạn:** Là số thập phân kéo dài vô hạn các chữ số. Ví dụ: 1/3 = 0,333..., π = 3,14159265...

Số thập phân vô hạn có thể được chia thành hai loại:

* **Số thập phân vô hạn tuần hoàn:** Là số thập phân có một dãy các chữ số lặp lại vô hạn. Ví dụ: 1/7 = 0,142857142857...

* **Số thập phân vô hạn không tuần hoàn:** Là số thập phân có các chữ số không lặp lại vô hạn. Ví dụ: π = 3,141592653589793...

**1.4. Các Phép Toán trên Q**

Trên tập hợp số hữu tỉ, các phép toán cộng, trừ, nhân và chia (trừ chia cho 0) đều được định nghĩa.

* **Cộng:** (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)

* **Trừ:** (a/b) - (c/d) = (ad - bc)/(bd)

* **Nhân:** (a/b) * (c/d) = (ac)/(bd)

* **Chia:** (a/b) / (c/d) = (ad)/(bc)

**1.5. Các Tính Chất của Q**

Tập hợp số hữu tỉ có một số tính chất quan trọng:

* **Tính đóng:** Q đóng dưới các phép toán cộng, trừ, nhân và chia (trừ chia cho 0).

* **Tính liên kết:** Các phép toán cộng và nhân đều có tính liên kết trong Q.

* **Tính giao hoán:** Các phép toán cộng và nhân đều có tính giao hoán trong Q.

* **Tính phân phối:** Phép nhân phân phối trên phép cộng trong Q.

* **Tồn tại phần tử đơn vị:** Số 1 là phần tử đơn vị cho phép nhân trong Q.

* **Tồn tại phần tử nghịch đảo:** Mọi số hữu tỉ a/b khác 0 đều có phần tử nghịch đảo b/a.

**1.6. Mối Quan Hệ với Các Tập Hợp Số Khác**

Tập hợp số hữu tỉ là một tập hợp con của tập hợp số thực. Mọi số hữu tỉ đều là số thực, nhưng không phải mọi số thực đều là số hữu tỉ.

Tập hợp số hữu tỉ có thể được chia thành hai tập hợp con:

* **Tập hợp số hữu tỉ dương:** (Q+): {x ∈ Q | x > 0}

* **Tập hợp số hữu tỉ âm:** (Q-): {x ∈ Q | x < 0}

**1.7. Ứng Dụng**

Tập hợp số hữu tỉ có nhiều ứng dụng trong toán học, khoa học và kỹ thuật. Ví dụ:

* Biểu diễn các đại lượng vật lý như nhiệt độ, thời gian và khối lượng.

* Thực hiện các phép tính tài chính như lãi suất và đầu tư.

* Giải quyết các phương trình và bất phương trình toán học.

**1.8. Kết Luận**

Tập hợp số hữu tỉ là một tập hợp quan trọng trong toán học, đóng vai trò nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế. Ký hiệu "Q" được sử dụng để biểu diễn tập hợp này, phản ánh bản chất phân số của các số hữu tỉ. Những tính chất và mối quan hệ của tập hợp số hữu tỉ giúp nó trở thành một công cụ hữu ích cho việc tính toán và giải quyết vấn đề trong nhiều lĩnh vực.